\chapter{1726年,伯努利方程的原始推导及其后世发展}

	\begin{abstract}
		本文系统梳理了丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)于1726年提出的流体力学基本定理的原始推导过程，分析了其基于能量守恒思想的创新性突破。通过对比《水动力学》(Hydrodynamica, 1738)原始文献与现代表述的差异，揭示了该理论从初等形式到广义伯努利方程的发展脉络。特别考察了欧拉(Leonhard Euler)在1740年代对微分形式方程的贡献，以及19世纪粘性流体修正对理论体系的完善。研究表明，伯努利方程的演进过程典型反映了物理学理论从理想模型到实际应用的范式转变。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	丹尼尔·伯努利在1726年首次提出流体运动的能量守恒关系，后在其1738年出版的《水动力学》中系统阐述。该理论突破了牛顿力学刚体研究的局限，开创了连续介质力学的新范式。本文采用历史分析与数学推导相结合的方法，考察原始文献中命题XII至XV的论证逻辑\cite{Bernoulli1738}。
	
	\section{伯努利的原始推导(1726-1738)}
	\subsection{基本假设}
	原始推导基于三个核心假设：
	\begin{itemize}
		\item 理想流体（无粘性、不可压缩）
		\item 定常流动（$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = 0$）
		\item 沿流线成立（后由欧拉明确限定）
	\end{itemize}
	
	\subsection{能量守恒的数学表达}
	伯努利通过类比质点力学，将重力势能与动能变化联系起来。对于流管微元(图\ref{fig:flowtube})：
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{flowtube}
		\caption{伯努利分析的流管模型}
		\label{fig:flowtube}
	\end{figure}
	
	其推导可表述为：
	\begin{equation}
		\Delta \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgh + pV \right) = 0
	\end{equation}
	
	其中$p$为压强，$V$为体积元。对于单位质量流体($\rho = m/V$)，得到原始形式：
	
	\begin{equation}
		\frac{v^2}{2} + gh + \frac{p}{\rho} = \text{常数}
	\end{equation}
	
	\section{欧拉的微分形式(1752)}
	莱昂哈德·欧拉在1752年论文中引入微分方程表述\cite{Euler1752}：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}
	\end{equation}
	
	沿流线积分可得广义伯努利方程：
	
	\begin{equation}
		\int \frac{dp}{\rho} + \frac{1}{2}v^2 + gz = C(t)
	\end{equation}
	
	\section{粘性流体修正(19世纪)}
	纳维(Claude-Louis Navier)和斯托克斯(George Stokes)引入粘性项：
	
	\begin{equation}
		\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}
	\end{equation}
	
	此时机械能不再守恒，需引入损失项$h_f$：
	
	\begin{equation}
		p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2 + h_f
	\end{equation}
	
	\section{现代应用与理论意义}
	伯努利方程在航空(机翼升力)、心血管系统(血液流动)等领域仍有广泛应用。2016年实验证实了量子流体中的伯努利效应\cite{Quantum2016}，展现了理论的普适性。
	
	\section{结论}
	伯努利方程的演进经历了：
	\begin{enumerate}
		\item 原始能量守恒表述(1738)
		\item 微分方程形式(1752)
		\item 粘性修正(1845)
		\item 湍流统计形式(20世纪)
	\end{enumerate}
	
	这一过程体现了物理理论从理想模型到实际应用的典型发展路径。
	
	\bibliographystyle{unsrt}
	\bibliography{references}
	